Cùng mày mò những thông tin cụ thể nhất về trọng điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác như tư tưởng và các đặc thù trong nội dung bài viết dưới đây!
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là kiến thức và kỹ năng trọng trung tâm cho môn toán hình. Thuộc theo dõi nội dung bài viết dưới đây để có thể củng nắm thêm kiến thức và làm cho quen với những dạng bài tập không giống nhau nhé.
Bạn đang xem: Đường tròn nội tiếp tam giác
1. Trung tâm đường tròn ngoại tiếp trong tam giác là gì?
Để rất có thể hiểu rõ và biết phương pháp xác định trung khu đường tròn nước ngoài tiếp tam giác, đầu tiên họ sẽ đi tìm hiểu có mang và đặc điểm của nó ngay lập tức sau đây.
1.1 Khái niệm
Đường tròn nước ngoài tiếp tam giác là mặt đường tròn trải qua ba đỉnh của một tam giác bất kỳ. Giao điểm của tía đường trung trực trong tam giác sẽ tạo nên thành vai trung phong đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Hay nó còn thường được call là tam giác nội tiếp của hình tròn.
Chẳng hạn, ta có ví dụ sau:
Hình hình ảnh minh hoạ về trọng điểm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC
Đường trung trực của AB là con đường thẳng đi qua trung điểm F của đoạn thẳng AB với vuông góc cùng với đoạn trực tiếp AB. Rất nhiều điểm I mà thuộc trung trực của đoạn thẳng AB đều đều bằng nhau IA = IB.
Có thể thấy rằng, tía đường trung trực tam giác ABC thì đồng quy tại một điểm. Call I là điểm giao của ba đường trung trực vào giam giác ABC thì ta sẽ sở hữu được đoạn trực tiếp IA = đoạn thẳng IB = đoạn thẳng IC. Vì chưng vậy mà lại I là tâm con đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
1.2 Tính chất
Đường tròn ngoại tiếp tam giác có một số tính hóa học như sau:
Mọi tam giác đầy đủ chỉ bao gồm một con đường tròn nước ngoài tiếp duy nhất. Giao điểm của bố đường phân giác vuông góc của tam giác nhập vai trò là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác và bán kính của chu vi của nó được xác minh bằng khoảng cách giữa cha đỉnh của nó. Chính giữa cạnh huyền vào vai trò là tâm của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác vuông. Tâm đường tròn có chung con đường tròn ngoại tiếp tam giác và mặt đường tròn nội tiếp tam giác đều.Chẳng hạn: cho ΔNMP cân nặng tại N, nội tiếp đường tròn (O), con đường cao NH cắt (O) ngơi nghỉ K. Vì sao NK là 2 lần bán kính của (O)?
Lời giải: do tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác NMP nhưng mà tam giác NMP cân nặng ở N phải đường cao NH cũng đó là trung trực ⇒ O ∈ NH
Nên: NK là dây qua trọng điểm ⇒ Suy ra: NK là đường kính của mặt đường tròn O
2. Cách xác minh tâm con đường tròn nước ngoài tiếp vào tam giác
Để có thể xác định được tâm mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác cần lưu ý một số điểm sau:
Tam giác có 3 đỉnh biện pháp đều 1 điều thì điểm đó chính là tâm của mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.Quỹ tích của các điểm chú ý sang đoạn thẳng AB với cùng một góc vuông sẽ là mặt đường tròn có đường kính ABTa bao gồm 2 cách để có thể xác minh được trung khu của con đường tròn ngoại tiếp tam giác là:
a) giải pháp 1
Bước 1: gọi K(x;y) là trung tâm của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác EFJ. Ta có những đoạn trực tiếp KE = KF = KJ và bằng nửa đường kính R
Bước 2: Tọa độ trung tâm K là nghiệm của hệ phương trình:
KE bình phương = KF bình phương
KE bình phương = KJ bình phương
b) bí quyết 2
Bước 1: Tìm và viết được những phương trình đường trung trực của nhị cạnh vào tam giác bất kỳ.
Bước 2: Sau đó, tìm kiếm giao điểm của hai tuyến đường trung trực đang tìm ra ở bước 1 cùng giao điểm của hai tuyến phố trung trực đó là tâm con đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Tóm lại, trọng điểm của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác NMP cân nặng tại N nằm trên tuyến đường cao NH và trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông trên A là trung điểm cạnh huyền BC.
Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC siêu chi tiết
Để rất có thể xác định được tâm mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác theo cách 2, ta cần kiếm được phương trình của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác khi biết tọa độ 3 đỉnh. Để rất có thể giải được việc về phương trình mặt đường tròn của ngoại tiếp tam giác ta tiến hành theo công việc như sau:
Bước 1: Đầu tiên, ta nuốm tọa độ từng đỉnh của tam giác vào phương trình cùng với ẩn a,b,c (Bởi vì các đỉnh của tam giác thuộc đường tròn ngoại tiếp, vày vậy, tọa độ những đỉnh vào tam giác vừa lòng phương trình đường tròn nước ngoài tiếp mà lại ta phải tìm)
Bước 2: Giải hệ phương trình nhằm tìm ra các hằng số a,b,c tương xứng với các đỉnh vào tam giác.
Bước 3: Tiếp theo, ta nuốm giá trị vừa tìm được như a,b,c vào phương trình tổng thể để đưa ra phương trình mặt đường tròn nước ngoài tiếp của tam giác.
Bước 4: Do đỉnh của tam giác thuộc mặt đường tròn ngoại tiếp yêu cầu ta gồm hệ phương trình sau:
x(A) bình phương + y(A) bình phương - 2ax(A) - 2by(A) + c = 0
x(B) bình phương + y(B) bình phương - 2ax(B) - 2by(B) + c = 0
x(C) bình phương + y(C) bình phương - 2ax(C) - 2by(C) + c = 0
=> Giải hệ phương trình bên trên ta sẽ tìm kiếm được các hằng số a, b, c.
3. Một số bài tập trung ương của đường tròn nước ngoài tiếp tam giác
Để rất có thể giúp chúng ta nắm rõ cùng hiểu hơn những kiến thức về tâm mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác, sau đó là một số bài xích tâp để chúng ta thực hành.
Bài 1: cho tam giác ABC vuông tại B, cùng AB = 6cm, BC = 8cm. Q là trung điểm của AC. Hãy xác định bán kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC bởi bao nhiêu?
Giải: Áp dụng định lý Pytago, ta có: CQ = 50% AC
Nên AQ = QB = QC = 5cm
Gọi D là trung điểm AC.
Vì tam giác ABC vuông tại B tất cả BQ là mặt đường trung đường ứng cùng với cạnh huyền AC đề xuất Q là tâm đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC.
Suy ra: Đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC là trung điểm Q của cạnh huyền AC và bán kính đường tròn nước ngoài tiếp ABC là R = AQ = 5cm
Bài 2: Cho tam giác đều ABC với các cạnh bởi 12cm. Hãy xác định tâm và nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác đều ABC? MNP
Giải: call Q, I theo lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB cùng AQ giao cùng với CI tại điểm O.
Vì tam giác rất nhiều ABC buộc phải đường trung đường đồng thời cũng là mặt đường cao, mặt đường phân giác và mặt đường trung trực của tam giác (tính chất tam giác đều)
Vậy nên, O đó là tâm của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác.
Tam giác ABC bao gồm CI là con đường trung tuyến phải CI cũng là đường cao trong tam giác.
Từ đó, ta vận dụng định lý Pytago:
CI² = AC² – AI² = 122 – 62 = 108 (cm).
=> CI = 6√3cm.
Vì O là trung tâm của tam giác ABC nên: teo = 2/3 CI = 2/3 x 6√3 = 4√3 (cm).
Các bài tập tự áp dụng như sau:
Bài 1: Đường cao AD, mặt đường cao BE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H (góc C chưa hẳn góc vuông) và giảm đường tròn (O) nước ngoài tiếp tam giác ABC theo thứ tự tại N và M.
a, chứng minh rằng CDHE nội tiếp và xác minh tâm của mặt đường tròn nước ngoài tiếp của nó.
b, chứng tỏ tam giác CNM là tam giác cân.
Bài 2: mang đến tam giác NMP có bố góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Cha đường của tam giác là NF, ME với PD giảm nhau tại K. Chứng tỏ tứ giác MDEP là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm G của mặt đường tròn ngoại tiếp đó.
Bài 3: Cho tam giác EFJ vuông tại E bao gồm EF
Như vậy, trên đấy là tổng thích hợp kiến thức từ rất nhiều bài tập, khái niệm, tính chất, loài kiến thức liên quan đến trung tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hy vọng bài viết này rất có thể giúp bạn nắm vững kiến thức cùng tìm ra lời giải cho những bài toán liên quan.
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là tài liệu cực kì hữu ích mà armyracostanavarino.com ra mắt đến chúng ta học sinh lớp 9 tham khảo. Tài liệu bao gồm 15 trang tổng hợp tương đối đầy đủ lý thuyết và những dạng bài xích tập bao gồm đáp án kèm theo.
1. Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác là lúc ba cạnh của tam giác là tiếp tuyến đường của con đường tròn và con đường tròn nằm hoàn toàn phía bên trong tam giác.
2. Cách xác định tâm mặt đường tròn nội tiếp tam giác
Để xác định được không chỉ tâm con đường tròn nội tiếp tam giác vuông bên cạnh đó tâm mặt đường tròn nội tiếp tam giác phần đông nữa thì ta bắt buộc ghi lưu giữ lý thuyết.
Với tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm ba đường phân giác vào của tam giác, hoặc có thể là hai tuyến phố phân giác.
- phương pháp 1: điện thoại tư vấn D,E,F là chân đường phân giác trong của tam giác ABC kẻ lần lượt từ A,B,C
+ cách 1 : Tính độ dài những cạnh của tam giác
+ bước 2 : Tính tỉ số
+ bước 3 : kiếm tìm tọa độ các điểm D, E, F
+ cách 4: Viết phương trình đường thẳng AD,BE
+ cách 5: trung khu của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là giao điểm của AD cùng BE
- bí quyết 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta hoàn toàn có thể xác định tọa độ điểm I như sau:
3. Nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác
Tam giác ABC bao gồm độ lâu năm lần lượt là a, b, c ứng với cha cạnh BC. AC, AB.
- Nửa chu vi tam giác
- nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác
4. Phương trình mặt đường tròn nội tiếp tam giác
- đề cập lại:
+ Phương trình mặt đường tròn tâm I(a; b), nửa đường kính R:
+ Phương trình con đường phân giác của góc sinh sản bởi hai tuyến phố thẳng
Cho tam giác ABC bao gồm
- phương pháp 1:
+ Viết phương trình hai tuyến phố phân giác vào góc A với B
+ trung khu I là giao điểm của hai đường phân giác trên
+ Tính khoảng cách từ I mang đến một cạnh của tam giác ta được bán kính
+ Viết phương trình con đường tròn
- phương pháp 2:
+ Viết phương trình đường phân giác trong của đỉnh A
+ kiếm tìm tọa độ chân đường phân giác trong đỉnh A
+ điện thoại tư vấn I là trung ương đường tròn, tọa độ I thỏa mãn nhu cầu hệ thức
+ Tính khoảng cách từ I đến một cạnh của tam giác
+ Viết phương trình mặt đường tròn
5. Các dạng bài bác tập về đường tròn nội tiếp tam giác
Dạng 1: Tìm tâm của con đường tròn nội tiếp khi biết tọa độ cha đỉnh
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy mang đến tam giác ABC với A(1;5) B(–4;–5) và C(4;-1).Tìm trọng tâm I của đương tròn nội tiếp tam giác ABC .
Giải:
Ta gồm
Do đó:
Vậy trọng điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là I(1;0)
Dạng 2: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;6), B(-3;-4), C(5;0). Tìm nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Giải:
Ta có,
Do đó, nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là
Dạng 3: Viết phương trình mặt đường tròn nội tiếp tam giác ABC lúc biết tọa độ 3 đỉnh
Ví dụ: Trong khía cạnh phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC tất cả A(11; -7), B(23;9), C(-1,2). Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Giải:
Ta có phương trình cạnh BC: 7x-24y+55=0
Phương trình đường phân giác góc A: 7x+y-70=0
Gọi D là chân con đường phân giác vào đỉnh A. Tọa độ D là nghiệm của hệ:
Gọi I(a,b) là trọng tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ta có:
Vậy tọa độ I(10,0)
Bán kính mặt đường tròn nội tiếp: r=d(I,AB)=5
Phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
Ví dụ 2: vào tam giác ABC có AB = 3cm, AC = 7cm, BC = 8cm. Nửa đường kính r đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng?
Hướng dẫn
- Chu vi tam giác ABC: p. = 9.
- bán kính:
Ví dụ 3: Cho tía điểm gồm tọa độ như sau: A(-2; 3);
6. Bài tập áp dụng đường tròn nội tiếp tam giác
Bài 1
a) Vẽ mặt đường tròn chổ chính giữa O, bán kính 2cm.
b) Vẽ hình vuông nội tiếp con đường tròn (O) ngơi nghỉ câu a).
c) Tính nửa đường kính r của con đường tròn nội tiếp hình vuông vắn ở câu b) rồi vẽ đường tròn (O; r).
Vẽ hình minh họa
a) chọn điểm O là tâm, mở compa gồm độ nhiều năm 2cm vẽ mặt đường tròn vai trung phong O, bán kính 2cm.
b) Vẽ 2 lần bán kính AC với BD vuông góc với nhau. Nối A với B, B cùng với C, C cùng với D, D cùng với A ta được tứ giác ABCD là hình vuông vắn nội tiếp mặt đường tròn (O; 2cm).
c) Vẽ OH ⊥ BC.
⇒ OH là khoảng cách từ từ trung khu O cho BC
Vì AB = BC = CD = domain authority ( ABCD là hình vuông) nên khoảng cách từ trọng tâm O cho AB, BC, CD, DA bằng nhau ( định lý lien hệ giữa dây cung và khoảng cách từ trung khu đến dây)
⇒ O là trọng tâm đường tròn nội tiếp hình vuông vắn ABCD
OH là nửa đường kính r của con đường tròn nội tiếp hình vuông vắn ABCD.
Tam giác vuông OBC có OH là mặt đường trung tuyến đường ⇒ OH = 50% BC=BH
Xét tam giác vuông OHB có: r2 + r2 = OB2 = 22 ⇒ 2r2 = 4 ⇒ r2 = 2 ⇒ r = √2(cm)
Vẽ mặt đường tròn (O; OH). Đường tròn này nội tiếp hình vuông, tiếp xúc tứ cạnh hình vuông vắn tại các trung điểm của từng cạnh.
Bài 2
a) Vẽ tam giác đều ABC cạnh a = 3cm.
b) Vẽ tiếp con đường tròn (O; R) nước ngoài tiếp tam giác phần đông ABC. Tính R.
Xem thêm: Thế nào là đánh bóng hạt gạo ? tìm hiểu về tác dụng của đánh bóng hạt gạo là gì
c) Vẽ tiếp đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác đầy đủ ABC. Tính r.
d) Vẽ tiếp tam giác số đông IJK ngoại tiếp mặt đường tròn (O; R).
GIẢI
Vẽ hình
a) Vẽ tam giác mọi ABC có cạnh bởi 3cm (dùng thước gồm chia khoảng và compa).
+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .
+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau trên điểm C.
Nối A cùng với C, B cùng với C ta được tam giác hầu như ABC cạnh 3cm.
b) gọi A";B";C" theo lần lượt là trung điểm của BC;AC;AB.
Tâm O của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác đông đảo ABC là giao điểm của tía đường trung trực (đồng thời là cha đường cao, cha trung tuyến, ba phân giác AA";BB";CC" của tam giác hồ hết ABC).
Dựng con đường trung trực của đoạn trực tiếp BC cùng CA.
Hai con đường trung trực cắt nhau trên O.
Vẽ mặt đường tròn trọng điểm O, nửa đường kính R=OA = OB = OC ta được con đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Tính AA":
GIẢI
Xét tam giác AA"C vuông trên A" bao gồm AC=3;
Theo bí quyết dựng ta bao gồm O cũng là giữa trung tâm tam giác ABC nên
Ta có nửa đường kính đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC là
c) bởi tam giác ABC là tam giác đều những trung điểm A’; B’; C’ của những cạnh BC; CA; AB đôi khi là chân mặt đường phân giác hạ trường đoản cú A, B, C mang đến BC, AC, AB.
Đường tròn nội tiếp (O;r) tiếp xúc cha cạnh của tam giác các ABC tại các trung điểm A", B", C" của các cạnh.
Hay đường tròn (O; r) là đường tròn trung ương O; nửa đường kính r=OA’ = OB’ = OC’.
Ta có:
d) Vẽ các tiếp con đường với mặt đường tròn (O;R) trên A,B,C. Bố tiếp con đường này cắt nhau trên I, J, K. Ta có ∆IJK là tam giác hồ hết ngoại tiếp (O;R).
Bài 3
Trên con đường tròn nửa đường kính R lần lượt đặt theo và một chiều, kể từ điểm A, cha cung
a) Tứ giác ABCD là hình gì?
b) chứng tỏ hai đường chéo của tứ giác ABCD vuông góc cùng với nhau.
c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác ABCD theo R.
GIẢI
a) Xét mặt đường tròn (O) ta có:
Từ (1) với (2) có:
Đẳng thức (3) minh chứng AB // CD. Vì vậy tứ giác ABCD là hình thang, cơ mà hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân.
Vậy ABCD là hình thang cân suy ra (BC = AD với
b) đưa sử nhị đường chéo AC với BD cắt nhau trên I.
Vậy
c) do
=> ∆AOB đều, đề xuất AB = OA = OB = R.
Vì sđ
Kẻ
Tứ giác ABCD là hình thang cân nặng
Lại có
Xét
Mà H là trung điểm của CD (định lý đường kính vuông góc với dây cung thì đi qua trung điểm của dây ấy).
Bài 4
Vẽ hình lục giác đều, hình vuông, tam giác đông đảo cùng nội tiếp đường tròn (O; R) rồi tính cạnh của các hình đó theo R.
GIẢI
Vẽ hình:
+) Hình a.
Cách vẽ: vẽ con đường tròn (O;R). Trên đường tròn ta đặt liên tiếp các cung
Tính phân phối kính:
Gọi
+) Hình b.
Cách vẽ:
+ Vẽ 2 lần bán kính
+ Vẽ đường kính
Tứ giác
Nối
Tính chào bán kính:
Gọi độ lâu năm cạnh của hình vuông vắn là a.
Vì hai đường chéo cánh của hình vuông vắn vuông góc cùng với nhau yêu cầu xét tam giác vuông
+) Hình c:
Cách vẽ như câu a) hình a.
Nối các điểm phân cách nhau một điểm thì ta được tam giác đều chẳng hạn tam giác
Tính phân phối kính:
Gọi độ lâu năm cạnh của tam giác đầy đủ là a.
Trong tam giác vuông
Từ kia
Bài tập 5: Cho tam giác MNP biết MN = 8cm, MP = 9cm, NP = 11cm. Hỏi bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bởi bao nhiêu?
Giải
Nửa chu vi tam giác MNP là:
Theo hê - rông, diện tích s tam giác MNP Ià:
Bán kính mặt đường tròn nội tiếp tam giác MNP là:
Bài 5:
Cho tam giác MNP đông đảo cạnh 2a, Hỏi nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Lời giải
Diện tích tam giác gần như MNP là:
S = ½ MN.MP.sin
M
= ½ .2a.2a.sin60o
= a2√3
Nửa chu vi tam giác MNP là:
Bài 6
Cho tam giác ABC biết AB = 12cm, AC = 13cm, CD = 15cm. Tính nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Lời giải
Nửa chu vi tam giác ABC là:
Bài 7
Cho △ABC với đường tròn (I) xúc tiếp với những cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh nếu AB FD = BE (đpcm).
7. Bài xích tập từ luyện trọng điểm đường tròn nội tiếp tam giác
Bài tập 1. trong mp
Oxy mang lại tam giác ABC với A(1;5), B(–4;–5) cùng C(4;-1). Tìm trung tâm J của đương tròn nội tiếp tam giác ABC.
ĐS: J(1;0)
Bài tập 2. Trong phương diện phẳng Oxy đến tam giác ABC cùng với A(-15/2; 2), B(12; 15)và C(0; -3). Tìm vai trung phong J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Đáp số J(-1;2)
Bài tập 3. Trong mặt phẳng Oxy đến tam giác ABC với A(3;–1), B(1;5) cùng C(6;0). Gọi A’ là chân đường cao kẻ trường đoản cú A lên BC Hãy tìm A’.
ĐS: A’(5;1)
Bài tập 4: cho tam giác MNP cân nặng tại M ngoại tiếp con đường tròn nửa đường kính 3 cm. Hotline H và K lần lượt là giao điểm của mặt đường tròn nội tiếp tam giác cân MNP với hai cạnh MN cùng NP. Biết MH = 4 cm. Tính diện tích tam giác cân nặng MNP
Bài tập 5
Cho tam giác phần đông MNP. Hotline O là giao điểm của hai tuyến đường phân giác nhị góc trong của tam giác hồ hết MNP với H là chân mặt đường vuông góc kẻ tự điểm O đến các cạnh NP. Biết con đường tròn nội tiếp tam giác hồ hết MNP có bán kính bằng 2 cm. Em hãy tính độ dài các cạnh của tam giác hầu như MNP.
Bài tập 6
Cho tam giác MNP. Hotline (O) là con đường tròn nội tiếp tam giác MNP. Biết (O) xúc tiếp với nhị cạnh MN với MP lần lượt tại hai điểm H và K. Biết MH . MP = MK . MN. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác cân tại M.
Bài tập 7
Cho tam giác MNP. Hotline O là giao điểm của tía đường phân giác những góc trong của tam giác MNP. điện thoại tư vấn H, K, L theo sản phẩm tự thứu tự là chân những đường vuông góc kẻ từ bỏ điểm O đến các cạnh NP, MN, MP. Minh chứng rằng:
